集合

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集合指的是一些可确定的、可分辨的事物构成的整体。一般地,一个集合中的元素往往具有相似的属性,集合也可以由各种类型的事物构成。

基本概念

对于给定的集合和事物, 应该可以断定这个特定的事物是否属于这个集合,如果属于,就称它为元素。例如全中国人的集合,它的元素就是每一个中国人。植物大战僵尸的各种植物可以构成集合,但是,某个班的所有胖子无法构成集合,因为这个集合元素不是确定的,

一个集合中,任何两个元素都认为是不相同的,即每个元素只能出现一次。2,2,2无法构成集合,因为有重复元素。,

一般的我们把含有有限个元素的集合叫做有限集,含无限个元素的集合叫做无限集。有一类特殊的集合,它不包含任何元素,我们称之为空集,记为∅。

下面考虑两个集合间的关系:

设A、B为集合,如果B中的每个元素都是A中的元素,则称B为A的子集合,简称子集

如果S是T的一个子集,但在T中存在一个元素x不属于S ,则称S是T的一个真子集

如果两个集合S和T的元素完全相同,则称S与T两个集合相等

由属于A而不属于B的元素组成的集合,称为B关于A相对补集。

并集:由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,记作AB(或BA),读作“AB”(或“BA”),即AB={x|xA,或xB}。

交集:由属于A且属于B的相同元素组成的集合,记作A∩B(或BA),读作“AB”(或“BA”),即AB={x|xA,且xB}。

应用范围

集合在数学领域具有无可比拟的特殊重要性,现代数学各个分支的几乎所有成果都构筑在严格的集合理论上。实际应用上,集合在范畴划分中,调查统计中有着广泛应用。

使用方法及步骤

用大写字母表示某种事物的集合,根据已知条件列出集合相关的值,再根据集合间的关系和集合间的运算规则做出计算,得到所求值。

应用案例

应用1-理发师悖论

案例:

一天,萨维尔村理发师挂出一块招牌:“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发,我也只给这些人理发。”于是有人问他:“您的头发由谁理呢?”理发师顿时哑口无言。因为,如果他给自己理发,那么他就属于自己给自己理发的那类人。但是,招牌上说明他不给这类人理发,因此他不能自己理。如果由另外一个人给他理发,他就是不给自己理发的人,而招牌上明明说他要给所有不自己理发的男人理发,因此,他应该自己理。由此可见,不管怎样的推论,理发师所说的话总是自相矛盾的。

解决步骤:

用集合A表示自己给自己理发的男人,用集合B表示不自己理发而由理发师理发的男人。属于A而不属于B的元素组成的集合,称为B关于A的相对补集,因此,集合A与集合B互为相对补集。对于理发师来说,他如果自己给自己理发,则属于集合A;但是,他自己给自己理发,也属于集合B。而集合A与集合B互为相对补集。是不允许同时属于两个集合的。因此,理发师的招牌所写的话是矛盾的。

应用2-统计调查

案例:

某班学生50人,每人至少懂得一种外语(英语或日语),其中懂得英语的有40人,懂得日语的20人,问懂得英语和日语两种语言有多少人。

解决步骤:

设A={班上懂得英语的人},B={班上懂得日语的人},A ∪ B={班上的学生},A∩B={班上既懂得英语又懂得日语的学生}。由集合性质可以得到:

n(A∩B)=n(A)+n(B)- n(A ∪B)=40+20-50=10。

可以体现的计算思维

集合是从众多事物抽取出来的具有共同性质的集合,是一个具体到概念的过程,体现了计算思维的抽象思想。