计算数学

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计算数学也叫做数值计算方法或数值分析。主要内容包括代数方程、线性代数方程 组、微分方程的数值解法,函数的数值逼近问题,矩阵特征值的求法,最优化计算问题,概率统计计算问题等等,还包括解的存在性、唯一性、收敛性和误差分析等理论问题。

定义

计算数学也叫做数值计算方法或数值分析。主要内容包括代数方程、线性代数方程 组、微分方程的数值解法,函数的数值逼近问题,矩阵特征值的求法,最优化计算问题,概率统计计算问题等等,还包括解的存在性、唯一性、收敛性和误差分析等理论问题。

五次及五次以上的代数方程不存在求根公式,因此,要求出五次以上的高次代数方程的解,一般只能求它的近似解,求近似解的方法就是数值分析的方法。对于一般的超越方程,如对数方程、三角方程等等也只能采用数值分析的办法。怎样找出比较简洁、误差比较小、花费时间比较少的计算方法是数值分析的主要课题。

在求解方程的办法中,常用的办法之一是迭代法,也叫做逐次逼近法。迭代法的计算是比较简单的,是比较容易进行的。迭代法还可以用来求解线性方程组的解。求方程组的近似解也要选择适当的迭代公式,使得收敛速度快,近似误差小。

在线性代数方程组的解法中,常用的有塞德尔迭代法、共轭斜量法、超松弛迭代法等等。此外,一些比较古老的普通消去法,如高斯法、追赶法等等,在利用计算机的条件下也可以得到广泛的应用。

在计算方法中,数值逼近也是常用的基本方法。数值逼近也叫近似代替,就是用简单的函数去代替比较复杂的函数,或者代替不能用解析表达式表示的函数。数值逼近的基本方法是插值法。

初等数学里的三角函数表,对数表中的修正值,就是根据插值法制成的。 在遇到求微分和积分的时候,如何利用简单的函数去近似代替所给的函数,以便容易求到和求积分,也是计算方法的一个主要内容。微分方程的数值解法也是近似解法。常微分方程的数值解法由欧拉法、预测校正法等。

偏微分方程的初值问题或边值问题,常用的是有限差分法、有限元素法等。有限差分法的基本思想是用离散的、只含有限个未知数的差分方程去代替连续变量的微分方程和定解条件。求出差分方程的解法作为求偏微分方程的近似解。

相关方法

插值法

借助于某量已知的个别值或与其有关的其他量来逼近或精确地寻求该量的一种方法。以插值为基础的解数学问题的一个完整的近似方法系列已经发展起来了。 计算数学中最重要的是对于函数的插值(Interpolation)的构造方法的问题泛函和算子的插值在构造计算方法中也已得到广泛的应用。 插值法又称“内插法”,是利用函数f (x)在某区间中插入若干点的函数值,作出适当的特定函数,在这些点上取已知值,在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值,这种方法称为插值法。如果这特定函数是多项式,就称它为插值多项式。

有限元素法

有限元素法是近代才发展起来的,它是以变分原理和剖分差值作为基础的方法。在解决椭圆形方程边值问题上得到了广泛的应用。现在有许多人正在研究用有限元素法来解双曲形和抛物形的方程 计算数学的内容十分丰富,它在科学技术中正发挥着越来越大的作用。

有限元素法是将结构用网格划分为计算模型的一种结构分析数值方法,这一方法特别适合于电子计算机的应用,能对飞行器结构进行大规模的整体分析,也能对形状复杂的结构如接头等进行细节分析将结构用网格划分为计算模型的一种结构分析数值方法。经过推广发展,已成为解数学物理方程的一种近似方法。

用经典结构力学进行飞行器强度计算时,需采用各种简化和假设,把未知数的数量尽可能地减少。例如,力矩分配法能够迭代计算含有几个未知数的连续梁和构架,曾是一种较好的计算方法。但对于形状、边界条件、载荷条件复杂的结构,经典结构力学无法进行精确的计算分析。电子计算机问世后,从事飞行器结构分析的专家致力于寻求一种利用电子计算机进行结构分析的有效方法。1956年,美国波音飞机公司的M.J.脱纳等人,为了分析后掠机翼研究出有限元素法。这一方法特别适合于电子计算机的应用,能对飞行器结构进行大规模的整体分析,也能对形状复杂的结构如接头等进行细节分析。在飞行器结构分析中,无论是静强度分析、动强度分析、疲劳与断裂或热强度分析,都离不开有限元素法。它已成为一种常规的分析方法。

在有限元素法中,用网格将结构划分为若干小块,这些小块称为有限元素,简称有限元。它们可以是三角形、四边形、四面体、六面体或其他形状,易于为计算机记录和鉴别。然后采用分片的连续函数(通常是多项式函数)来描述各元素内的位移场或应力场,并通过每个元素边界上事先规定的一组节点与周围元素相连接,保证必要的连续条件。以节点的广义位移为未知数的称位移法,未知数为广义应力的称力法。两者兼而有之的是混合法。此外,在元素内假设位移场(或应力场)、而在边界上假设应力场(或位移场)的称杂交法。然后应用变分原理得到代数方程组,不同形式的方程组代表不同的结构分析问题。再运用各种数值解法,即可求得所需的结果。例如,用有限元素法作静力分析,能确定结构的位移和应力;作动力分析则能求出结构的振动频率和模态等。有限元素法广泛应用矩阵代数,既紧凑,又易于在电子计算机上组织计算,实现计算过程标准化,可编制通用的计算程序。 有限元素法已成功地用于“阿波罗”号登月飞船、波音 747旅客机等大型复杂的飞行器结构分析。除了线弹性问题外,它在弹塑性、稳定性、大变形、粘弹性、热应力、蠕变、振动、动力响应、断裂、疲劳裂纹扩展、温度场、油箱晃动、噪声响应和颤振分析等方面的应用都有很大的进展。特别是以有限元素法为基础的结构分析系统,使分析工作具有很高的效率和可靠性。有限元素法能为新的飞行器设计提供大部分强度资料,为适航性考核和新机验收提供依据。但对飞行器结构分析中许多复杂的非线性问题、瞬态问题、疲劳和断裂、结构与其他介质相互作用等边缘问题还有待进一步研究解决。

研究范畴

计算问题可以说是现代社会各个领域普遍存在的共同问题,工业、农业、交通运输、医疗卫生、文化教育等等,哪一行哪一业都有许多数据需要计算,通过数据分析,以便掌握事物发展的规律。研究计算问题的解决方法和有关数学理论问题的一门学科就叫做计算数学。计算数学属于应用数学的范畴,它主要研究有关的数学和逻辑问题怎样由计算机加以有效解决模糊数学是一门新兴学科,它已初步应用于模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、模糊决策、模糊评判、系统理论、信息检索、医学、生物学等各个方面。在气象、结构力学、控制、心理学等方面已有具体的研究成果。然而模糊数学最重要的应用领域是计算机职能,不少人认为它与新一代计算机的研制有密切的联系。模糊数学是以不确定性的事物为其研究对象的。在模糊数学中,已有模糊拓扑学、模糊群论、模糊图论、模糊概率、模糊语言学、模糊逻辑学等分支

分支

最优化

最优化(Optimization),是应用数学的一个分支,主要研究以下形式的问题:

给定一个函数,寻找一个元素满足A中的,取得最小化;或者最大化。

这类定式有时还称为“数学规划”(譬如,线性规划)。许多现实和理论问题都可以建模成这样的一般性框架。

最优化是一门应用相当广泛的学科,它讨论决策问题的最佳选择之特性,构造寻求最佳解的计算方法,研究这些计算方法的理论性质及实际计算表现。伴随着计算机的高速发展和优化计算方法的进步,规模越来越大的优化问题得到解决。因为最优化问题广泛见于经济计划、工程设计、生产管理、交通运输、国防等重要领域,它已受到政府部门、科研机构和产业部门的高度重视。

主要分支

线性规划

当目标函数f是线性函数而且集合A是由线性等式函数和线性不等式函数来确定的, 我们称这一类问题为线性规划

整数规划

当线性规划问题的部分或所有的变量局限于整数值时, 我们称这一类问题位整数规划问题

二次规划

目标函数是二次函数,而且集合A必须是由线性等式函数和线性不等式函数来确定的。

非线性规划

非线性规划研究的是目标函数或限制函数中含有非线性函数的问题。

随机规划

研究的是某些变量是随机变量的问题。

动态规划

动态规划研究的是最优策略基于将问题分解成若干个较小的子问题的优化问题。

组合最优化

研究的是可行解是离散或是可转化为离散的问题。

无限维最优化

研究的是可行解的集合是无限维空间的子集的问题,一个无限维空间的例子是函数空间。

计算数学与生物数学

计算数学是研究如何用计算机解决各种数学问题的科学,它的核心是提出和研究求解各种数学问题的高效而稳定的算法。高效的计算方法与高速的计算机是同等重要的,计算作为认识世界改造世界的一种重要手段,已与理论分析、科学实验共同成为当代科学研究的三大支柱。计算数学主要研究与各类科学计算与工程计算相关的计算方法,对各种算法及其应用进行理论和数值分析,设计与研究用数值模拟方法代替某些耗资巨大甚至是难于实现的实验,研究专用或通用科学工程应用软件和数值软件等。近年来,计算数学与其他领域交叉渗透,形成了诸如计算力学,计算物理,计算化学,计算生物等一批交叉科学,在自然科学、社会科学、工程技术及其国民经济的各个领域得到了日益广泛的应用。

数值软件

数值软件,计算数学中标准算法程序的总称。每个数值软件是实现一个特定的计算方法的标准程序模块,由一个或几个标准过程(或子程序)组成,成为计算机科学计算软件中的一个软件,可供用户选用,实现其所需的数值计算。因此,数值软件是计算方法转化为社会生产力的重要环节。

计算数学中标准算法程序的总称。每个数值软件是实现一个特定的计算方法的标准程序模块,由一个或几个标准过程(或子程序)组成,成为计算机科学计算软件中的一个软件,可供用户选用,实现其所需的数值计算。因此,数值软件是计算方法转化为社会生产力的重要环节。

大量数值软件组装在一起,称为数值软件库(包),它可用于各类计算机用户和各种科学工程应用软件。因此,数值软件库是大型科技应用软件研制者的重要工具,是科技应用软件的组成部分。

数值软件同电子计算机一起诞生和发展。最初的数值软件只是常用的初等函数和简单的计算方法的标准程序,直接用机器语言或汇编语言写成;随着程序语言的发展,特别是在标准的FORTRAN和ALGOL等语言定型之后,为减少重复劳动,提高数值软件本身的可靠性、可移植性和使用效率,多采用标准的FORTRAN、ALGOL和PASCAL等语言写成。随着计算机在工程技术和科学研究领域里的广泛应用和数值计算方法的迅速发展,数值软件的内容正在迅速扩充和更新。几乎所有的大中型计算机和计算中心都装备着数值软件库。数值软件已经商品化,并出现了专门经营数值软件的软件公司。国际上召开了多次讨论数值软件发展的学术会议,并创办了专门刊登数值软件论文的刊物。

数值软件要被经常反复调用。因此,在建立一个数值软件库时,必须对计算方法进行认真的选择。选择时主要应考虑计算方法的适用性、专业性、准确性、稳定性、计算量和存贮量。这些方面必须尽可能兼顾。列入数值软件库的每个软件,必须经过严格、全面的考验,以确保其正确性、可靠性和执行的有效性。每个数值软件须有详尽、明白的使用说明书,对软件如何使用以及计算方法的适用范围、 准确度、 计算量给予确切的说明,以便用户使用。

数值软件的内容已经涉及到数值计算的各个方面,例如有算术子程序、初等函数、多项式与特殊函数、数值积分与数值微分、函数逼近、矩阵及向量计算、线性与非线性方程组解法、概率计算、统计分析与数据拟合、线性与非线性规划、管理科学、绘图与图像显示、常微分方程数值解法、偏微分方程数值解法、数模转换等等。随着计算方法的进一步发展和计算机的更广泛的应用,数值软件所包含的内容必将越来越广。

参考文献

百度百科:计算数学插值法有限元素法最优化数值软件