计数

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计数是一个重复加(或减)1的数学行为,通常用于算出对象有多少个或放置想要之数目个对象(对第一个对象从一算起且将剩下的对象和由二开始的自然数做一对一对应)。

基本概念

计数(count) 亦称数数。算术的基本概念之一。指数事物个数的过程。

计数应用

算筹

古人曰:“运筹策于帷幄之中,决胜于千里之外”。筹策又叫算筹,它是中国古代普遍采用的一种计算工具。算筹不仅可以替代手指帮助计数,而且还能做加、减、乘、除等算术运算。据古书记载,算筹一般是使用竹子、木头或兽骨制成的小棍,其长为13~14厘米,直径0.2~0.3厘米,约270枚为一束,放在布袋里随身携带。人们在地面或盘子中反复摆弄这些小棍,通过移动进行计算,从而出现了“运筹”一词,运筹就是计算。古人还创造横式和纵式两种不同的摆法,两种摆法都可以用1~9来计算任意大小的自然数,与现代通用的十进制计数法完全一致。

π值的计算

我国南北朝时期的杰出数学家祖冲之(429-500年),如 图1所示,他借助于算筹作为计算工具,将圆周率π值计算到小数点后第7位,即在3.1415926至3.1415927之间,成为当时世界上最精确的π值。为了求得这个π值,需要对很多位进行包括开方在内的各种运算达130次以上,就是今人使用纸和笔进行计算也是比较困难的。
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图1 祖冲之

对于圆周率π值,人们始终不满足已有的成绩。1593年,荷兰阿德里恩根据古典方法求π值,精确到小数点后第15位。1610年,德国数学家鲁道尔夫采用圆外切与内接正多边形的方法,正确地得出π值的35位有效数字。17世纪以后,由于级数理论的发展,计算π值的公式越来越多。到1706年,英国数学家梅钦计算π值突破100位小数大关。1873年英国数学家尚可斯将π值计算到小数点后707位,可惜从528位起是错误的。到1948年英国的弗格森和美国的伦奇共同发表的π值有808位,成为人工计算圆周率的最高纪录,如图2所示:
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图2 圆周率π值

由于π值可以表示成一个无穷数,因此对它的计算除了掌握一定的计算方法外,主要就是进行大量的数值计算,这是对计算工具和人的耐力的一种巨大的挑战。1949年,美国马里兰州阿伯丁弹道研究实验室首次使用ENIAC机计算π值,很快就算到2037位小数,突破了千位数。1958年超过1万位,1961年超过10万位,1973年超过100万位,1983年超过800多万位。此后,利用超级计算机计算π值,这一记录不断刷新。1989年5月达4.8亿位,1989年8月超过10亿位,1991年达21.6亿位,2010年达2.7万亿位。2011年10月,日本计算机奇才近藤茂利用家用计算机将圆周率计算到小数点后10万亿位,创造了吉尼斯世界纪录。

计数与计算

计算机的起源如果从计算工具算起,至少可以追溯到人类祖先使用石头或手指计数的远古时代。古人用石头计算捕获的猎物,石头就是计算工具。美国著名科普大师艾萨克·阿西莫夫(1920-1992年)曾说过,人类最早的计算工具是手指,英文Digit既表示“手指”又表示“数字”。而我国专家考证,大约在新石器时代早期,即远古传说中伏羲、黄帝之前,人们就开始用绳子打结的多少来表示数的概念,结绳就是当时的计算工具。

数值计算方法

随着科技与社会的发展,越来越多的问题需要用计算来解决。计算工具的不断变化,大大提高了人类的计算能力。数值计算方法(又称计算方法)是一门与计算机应用紧密结合的、实用性很强的数学课程。许多计算领域的问题,如计算力学、计算物理学、计算化学以及计算经济学等新学科都可以归结为数值计算问题。数值计算与计算机的发展相辅相成并相互促进。由于数值计算的需要,促使计算机结构及性能不断更新,而计算机的发展又推动着数值计算方法的发展。

科学计算

科学计算的一般过程包括实际问题、数学模型、计算方法、程序设计和计算结果等。科学计算的应用范围十分广泛,一些尖端的国防项目,如核武器的研制、导弹的发射等,始终都是科学计算最活跃的领域。目前,科学计算在工农业生产的各个部门也正在发挥着日益重要的作用。例如,对气象资料的汇总、加工并生成天气图像,其计算量大且时限性强,要求计算机能够进行高速运算,以便对天气做出短期或中期的预报。