红球概率问题

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红球概率问题1.png

有两个罐子和红蓝球各50个, 将这100个球放进两个罐子里面后,随机选出一个罐子随机选一个球,问每个罐子的红球数量为多少时,才能保证红球有最大的选中率?

解决方案

方案1—列表法

这个方法实际上是红篮球各50个放在罐子里面所有的组合情况全部列举出来,计算每种组合的概率,然后找出概率最大的那个组合。如果全部计算对应的概率,组合情况太多,太耗费时间,在时间有限的情况下,不建议用这个方法。

组合方案

红球概率

罐子1:(红0,蓝50)

罐子2::(红50,蓝0)

(0+1)/2=1/2

罐子1:(红1,蓝50)

罐子2:(红49,蓝0)

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        ... ...

               ... ...

方案2—方程法

设罐子1中的红球为n个,蓝球为m个,则罐子2中红球为50-n个,蓝球为50-m个,随机拿一个球,该球为红球的概率为P,则

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为了计算方便,采用一个小技巧,用分母减去分子的差值大小来代替对商值大小的衡量,于是

红球概率问题4.png

对y进行分析

[1]当m=n 时,y=0,此时,p=1/2.

[2]当m ≠ n 时,如果固定n的值, m越大,m-n的值越大,m+n-50的值也越大,两者的乘积y就越大。

所以取m=50,此时y=50n-n^2 , 此时y是一个一元二次函数,画成图像是一条开口向下的抛物线,根据数学中的规律,当n取顶点的横轴坐标值的时候,y能取得最大值,根据公式n=-b/2a  ,a=-1,b =50 求出n=25。

即n=25时,y有极大值为y=625>0

将m=50,n=25,代入原式p,可得p=2/3;

故方案为:A罐25个红球50个蓝球;B罐25个红球0个蓝球

运用的计算思维

列表法枚举所有可能的组合情况,带来的计算量非常大,是无法提高效率的蛮力法。而方程法则是通过对问题进行抽象,然后借用数学中已经研究出的函数模型进行解题,并在解题过程中运用多种数学解题技巧,体现了抽象、转化、嵌入、启发式的计算思维。

参考资料

豆丁网:http://www.docin.com/p-1090460819.html

新浪爱问:http://iask.sina.com.cn/b/19120097.html