有限元素法

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有限元素法是近代才发展起来的,它是以变分原理和剖分差值作为基础的方法。在解决椭圆形方程边值问题上得到了广泛的应用。现在有许多人正在研究用有限元素法来解双曲形和抛物形的方程 计算数学的内容十分丰富,它在科学技术中正发挥着越来越大的作用。

有限元素法是将结构用网格划分为计算模型的一种结构分析数值方法,这一方法特别适合于电子计算机的应用,能对飞行器结构进行大规模的整体分析,也能对形状复杂的结构如接头等进行细节分析将结构用网格划分为计算模型的一种结构分析数值方法。经过推广发展,已成为解数学物理方程的一种近似方法。

用经典结构力学进行飞行器强度计算时,需采用各种简化和假设,把未知数的数量尽可能地减少。例如,力矩分配法能够迭代计算含有几个未知数的连续梁和构架,曾是一种较好的计算方法。但对于形状、边界条件、载荷条件复杂的结构,经典结构力学无法进行精确的计算分析。电子计算机问世后,从事飞行器结构分析的专家致力于寻求一种利用电子计算机进行结构分析的有效方法。1956年,美国波音飞机公司的M.J.脱纳等人,为了分析后掠机翼研究出有限元素法。这一方法特别适合于电子计算机的应用,能对飞行器结构进行大规模的整体分析,也能对形状复杂的结构如接头等进行细节分析。在飞行器结构分析中,无论是静强度分析、动强度分析、疲劳与断裂或热强度分析,都离不开有限元素法。它已成为一种常规的分析方法。

在有限元素法中,用网格将结构划分为若干小块,这些小块称为有限元素,简称有限元。它们可以是三角形、四边形、四面体、六面体或其他形状,易于为计算机记录和鉴别。然后采用分片的连续函数(通常是多项式函数)来描述各元素内的位移场或应力场,并通过每个元素边界上事先规定的一组节点与周围元素相连接,保证必要的连续条件。以节点的广义位移为未知数的称位移法,未知数为广义应力的称力法。两者兼而有之的是混合法。此外,在元素内假设位移场(或应力场)、而在边界上假设应力场(或位移场)的称杂交法。然后应用变分原理得到代数方程组,不同形式的方程组代表不同的结构分析问题。再运用各种数值解法,即可求得所需的结果。例如,用有限元素法作静力分析,能确定结构的位移和应力;作动力分析则能求出结构的振动频率和模态等。有限元素法广泛应用矩阵代数,既紧凑,又易于在电子计算机上组织计算,实现计算过程标准化,可编制通用的计算程序。 有限元素法已成功地用于“阿波罗”号登月飞船、波音 747旅客机等大型复杂的飞行器结构分析。除了线弹性问题外,它在弹塑性、稳定性、大变形、粘弹性、热应力、蠕变、振动、动力响应、断裂、疲劳裂纹扩展、温度场、油箱晃动、噪声响应和颤振分析等方面的应用都有很大的进展。特别是以有限元素法为基础的结构分析系统,使分析工作具有很高的效率和可靠性。有限元素法能为新的飞行器设计提供大部分强度资料,为适航性考核和新机验收提供依据。但对飞行器结构分析中许多复杂的非线性问题、瞬态问题、疲劳和断裂、结构与其他介质相互作用等边缘问题还有待进一步研究解决。