建立数学模型

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在实验观察的基础上,对流场的物理本质进行深入的理解和分析,建立起描述流场的合理的数学模型,为计算空气动力学提供出发的基本方程组和初、边值条件。在航空、航天方面,飞行器周围的流场非常复杂,且随飞行器的飞行高度和飞行速度有很大变化,必须考虑空气的连续或非连续性、压缩性、热传导性、粘性和其他物理、化学过程,因此基本方程组是十分复杂的。例如,对于不能视为连续介质的稀薄空气,描述其运动的基本方程组为玻尔茨曼方程,这是一非线性的偏微分-积分方程,对于可视为连续介质的空气,描述其运动的基本方程组为纳维尔-斯托克斯方程(简称N-S方程),这是一非线性的偏微分方程组。N-S 方程可由玻尔茨曼方程导出,虽然比玻尔茨曼方程简单了许多,但是仍嫌复杂。现代即使用最有效的数值计算方法和容量最大、速度最快的计算机,也还远远不能通过求解这一方程组来模拟真实飞行器的绕流。因此,为了解决实际工程问题,必须根据实际问题的物理特征对 N-S方程进行不同程度的简化,建立各种近似的数学模型和数学方程。广泛采用的简化近似方程有:线性位流方程、非线性位流方程、非线性欧拉方程、粘性边界层方程、粘性薄层近似方程、抛物化N-S方程和完全N-S方程等。

①线性位流方程:假设气体无粘性,存在速度位对绕细长机身薄翼及其组合体的纯亚音速和纯超音速小迎角绕流,可以进一步假设这类物体对流场产生小扰动,因而可以将速度位方程线性化,从而给出线性位流方程。

②非线性位流方程:假设气体无粘性,对含有弱激波的跨音速绕流问题,即使在小扰动假定下,也不能将方程线性化,但仍可假设存在速度位,这时采用的方程为非线性位流方程。

③非线性欧拉方程:由L.欧拉建立的只假设气体无粘性的方程。它比上面两种方程更为精确。对于具有较强激波或有分离涡面的流动和其他一些复杂的问题,在求气动力时常采用这种方程。

④边界层方程:雷诺数(Re)很高的气流绕过飞行器表面时,在物面很薄的流体层内,粘性力的作用不可忽略,以(=I*(C/Y))为小参数简化N-S 方程而得到的一级近似方程称为边界层方程,它是德国流体力学家L.普朗特提出的,又称普朗特边界层方程。

⑤粘性薄层方程:仍假设粘性的影响主要集中在飞行器表面附近的薄层内。但以ε为小参数简化N-S方程时,准确度比边界层方程更高一阶,这样获得的方程称为粘性薄层近似方程。与边界层方程比较,它适用的雷诺数范围更大,且考虑了粘性、无粘性的相互干扰作用。

⑥抛物化的N-S方程:在N-S方程中略去一切沿主流方向的二阶粘性耗散项后所得到的方程。这样获得的方程组在数学性质上是抛物型的,所以称抛物化的N-S方程。为了便于区别,一般把不经过任何简化的N-S方程称为完全的N-S方程。