差分法

来自计算思维百科
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有简单、灵活和通用性强等特点。用差分方法求数值解时,须先将自变量的定义域“离散化”,即只企图算自变量定义域中有限个点的未知函数的近似值。如果自变量只有一个,则可把要计算的区间离散成个线段。如果自变量有两个,而计算区域是矩形,则最简单的离散方式是把区域分成多个小矩形。小矩形的长和宽分别叫作方向x和方向y的步长。微分方程中出现的偏导数(,), 在微积分中是差商的极限,在有限差分方法中则代以差商。

原微分方程的差分方程怎样选差商至关重要。此外,偏微分方程总还要附加边界或初始条件,这些条件也要用差分形式表示。这样,对于每个网格点的未知函数值作出未知量的代数方程组。如果网格分得较密,即步长和都比较小,或与 的数值都比较大,则所得代数方程组的未知量的数目将很大,但借助计算机,还是可以很快求出解来。由于步长无法取为零,因此用差分方法只能求得原微分方程的近似解。但只要选择合理的差商和步长,计算结果仍能令人满意,有时还能得到精度很高的解。