代数系统

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代数系统又称抽象代数或代数结构。代数系统是由一个非空集合和该集合上的一个或多个代数运算组成。

基本概念

代数系统又称抽象代数或代数结构。代数系统是由一个非空集合和该集合上的一个或多个代数运算组成。

进展   

通常代数系统包括半群、群、环、域、格和布尔代数等内容,这些内容的研究起源于19世纪,那时的数学家们开始关注数学的体系结构而不是它们的具体内涵。群论概念就是这种代数结构中最重要的概念,法国数学家伽罗瓦(Evariste Galois,1811-1832)是大家公认的群论概念的主要开创者。

19世纪的数学家认识到,对许多不相“联系”的代数抽出它们共同的内容进行综合研究,可以发现它们具有统一的形式:它们都是由一些元素或对象组成的集合,服从一种或几种运算,这些运算的特性仅仅由某些抽象的性质决定的。最主要的是对该集合元素的运算的结果仍是该集合的元素。这些元素可以是实数、复数、向量和矩阵,还可以是各种形式的变换、替换或置换等等。但研究时可以不理会具体的元素,只研究抽象元素和抽象结构的性质,因此被人们称为抽象代数。

初等代数是研究实数或复数和以它们为系数的多项式的代数运算(加法、减法、乘法、除法、乘方和开方等)的理论和方法,其研究方法是高度计算的,其中心问题是代数方程和代数方程组的解的求法及其分布的研究。抽象代数是以研究数字、文字和更一般元素的代数运算的规律和由这些运算适合的公理所定义的各种代数结构或代数系统的性质为其中心问题,其研究方法主要是公理化的。从各种代数结构的公理出发研究它们的性质,目前已有群、环、域、模、代数、格、同调代数、范畴和泛代数等。

法国布尔巴基(Bourbaki)学派的研究指出,全部数学可以归结为三种基本结构,其中之一就是代数结构,另外两种是拓扑结构和序结构。代数结构可以用于算法的复杂性分析,研究抽象数据结构的性质及操作,同时也是程序设计语言的理论基础。目前,代数系统的研究成果被广泛地应用于计算机科学、理论物理学、生物学及社会科学当中。

代数结构(群、环、域)

所谓代数结构(Algebraic Structure)就是由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。代数结构是研究各种代数结构,诸如群、环、域等,它是代数学的一个分支。代数学起初被作为纯粹数学进行研究,但是后来发现它在计算机科学中有很大的应用。

群(Group)

群(Group)是一种具有一个二元运算的代数结构。设G是一个非空集合,*是它的一个二元代数运算,元素的集合如果满足封闭性、结合律、单位元素和逆元素这四个条件就称为群。在群方面,主要包括各种群的基本概念、子群及子群的陪集、群的同态基本定理与同构定理,以及群在集合上的作用等。

环(Ring)

环(Ring)是一种具有两个二元运算的代数结构。在非空集合R中,若定义了两种代数运算+和*,且满足:集合R在+运算下构成阿贝尔群,*有封闭性,*分配律与结合律成立,则称R是一个环。在环方面,主要包括环的基本概念、子环、理想与商环、交换环中的因子分解、多项式环及多项式环的因子分解等。

域(Field)

域(Field)也是一种具有两个二元运算的代数结构。如果至少含有两个元素的集合F及其两个二元运算加法+和乘法*,并满足加法交换律、加法结合律、存在零元、存在负元,乘法交换律、乘法结合律、存在幺元、存在逆元,以及乘法对加法的分配律,则称F为一个域。域是交换环且无零因子。在域方面,主要包含域的基本概念、分裂域、有限域等。

域,特别是有限域,在理论上和算法上与计算机科学的许多领域密切相关,例如算法理论、复杂性理论、编码理论和机械定理证明等。

格与布尔代数

格(Lattice)的定义有两种:一种是从偏序集的角度给出格的定义,这种定义可以借助哈斯(Hasse)图表示,因而比较直观,易于理解,这样定义的格称为偏序格;另一种是从代数系统的角度给出格的定义,这种定义方法在群和环的定义中已有体会,这样定义的格称为代数格。当然,这两种格的定义是等价的。

布尔代数是由英国数学家布尔(G.Boole,1815~1864)于19世纪中叶创立的,最初的设想是利用代数学的方法来研究人类的思维规律。到了20世纪30年代,发现布尔代数与工程技术有意想不到的联系。同时布尔代数本身也得到了迅速发展,布尔代数具有集合代数、命题代数、电路代数等共同特征。

布尔代数是计算机科学最重要的基础理论之一,布尔代数可视为是一类特殊的格,它们在计算机科学中有着十分重要的作用。比如,格在计算机应用逻辑与计算机自动推理中起着重要的作用,而布尔代数在开关网络及其数字电路的设计上有着广泛的应用。